Python调用实现最小二乘法的方法详解_开发_开发者

最小二乘法是非常经典的算法，而且这个名字我们在高中的时候就已经接触了，属于极其常用的算法。此前曾经写过线性最小二乘法的原理，并用python实现：最小二乘法及其Python实现；以及scipy中非线性最小二乘法的调用方式：非线性最小二乘法（文末补充内容）；还有稀疏矩阵的最小二乘法：稀疏矩阵最小二乘法。

下面讲对numpy和scipy中实现的线性最小二乘法进行说明，并比较二者的速度。

numpy实现

numpy中便实现了最小二乘法，即lstsq(a,b)用于求解类似于a@x=b中的x，其中，a为M×N的矩阵；则当b为M行的向量时，刚好相当于求解线性方程组。对于Ax=b这样的方程组，如果A是满秩仿真，那么可以表示为x=A⁻¹b，否则可以表示为x=(A^TA)⁻¹A^Tb。

当b为M×K的矩阵时，则对每一列，都会计算一组x。

其返回值共有4个，分别是拟合得到的x、拟合误差、矩阵a的秩、以及矩阵a的单值形式。

import numpy as np
np.random.seed(42)
M = np.random.rand(4,4)
x = np.arange(4)
y = M@x
xhat = np.linalg.lstsq(M,y)
print(xhat[0])
#[0. 1. 2.开发者_JAV培训 3.]

scipy封装

scipy.linalg同样提供了最小二乘法函数，函数名同样是lstsq，其参数列表为

lstsq(a, b, cond=None, overwrite_a=False, overwrite_b=False, check_finite=True, lapack_driver=None)

其中a, b即Ax=b，二者均提供可覆写开关，设为True可以节省运行时间，此外，函数也支持有限性检查，这是linalg中许多函数都具备的选项。其返回值与numpy中的最小二乘函数相同。

cond为浮点型参数，表示奇异值阈值，当奇异值小于cond时将舍弃。

lapack_driver为字符串选项，表示选用何种LAPACK中的算法引擎，可选'gelsd', 'gelsy', 'gelss'。

import scipy.linalg as sl
xhat1 = sl.lstsq(M, y)
print(xhat1[0])
# [0. 1. 2. 3.]

速度对比

最后，对着两组最小二乘函数做一个速度上的对比

from timeit import timeit
N = 100
A = np.random.rand(N,N)
b = np.arange(N)

timeit(lambda:np.linalg.lstsq(A, b), number=10)
# 0.015487500000745058
timeit(lambda:sl.lstsq(A, b), number=10)
# 0.011151800004881807

这一次，二者并没有拉开太大的差距，即使将矩阵维度放大到500，二者也是半斤八两。

N = 500
A = np.random.rand(N,N)
b = np.arange(N)

timeit(lambda:np.linalg.lstsq(A, b), number=10)
0.389679799991427
timeit(lambda:sl.lstsq(A, b), number=10)
0.35642060000100173

补充

Python调用非线性最小二乘法

简介与构造函数

在scipy中，非线性最小二乘法的目的是找到一组函数，使得误差函数的平方和最小，可以表示为如下公式

Python调用实现最小二乘法的方法详解

其中ρ表示损失函数，可编程以理解为对f_i(x)的一次预处理。

scipy.optimize中封装了非线性最小二乘法函数least_squares，其定义为

least_squares(f编程un, x0, jac, boundswww.devze.com, method, ftol, xtol, gtol, x_scale, f_scale, loss, jac_sparsipythonty, max_nfev, verbose, apythonrgs, kwargs)

其中，func和x0为必选参数，func为待求解函数，x0为函数输入的初值，这两者无默认值，为必须输入的参数。

bound为求解区间，默认(−∞,∞)，verbose为1时，会有终止输出，为2时会print更多的运算过程中的信息。此外下面几个参数用于控制误差，比较简单。

	默认值	备注
ftol	10^-8	函数容忍度
xtol	10^-8	自变量容忍度
gtol	10^-8	梯度容忍度
x_scale	1.0	变量的特征尺度
f_scale	1.0	残差边际值

loss为损失函数，就是上面公式中的ρ \rhoρ，默认为linear，可选值包括

Python调用实现最小二乘法的方法详解

迭代策略

上面的公式仅给出了算法的目的，但并未暴露其细节。关于如何找到最小值，则需要确定搜索最小值的方法，method为最小值搜索的方案，共有三种选项，默认为trf

trf：即Trust Region Reflective，信赖域反射算法
dogbox：信赖域狗腿算法
lm：Levenberg-Marquardt算法

这三种方法都是信赖域方法的延申，信赖域的优化思想其实就是从单点的迭代变成了区间的迭代，由于本文的目的是介绍scipy中所封装好的非线性最小二乘函数，故而仅对其原理做简略的介绍。

Python调用实现最小二乘法的方法详解

其中r为置信半径，假设在这个邻域内，目标函数可以近似为线性或二次函数，则可通过二次模型得到区间中的极小值点s_k。然后以这个极小值点为中心，继续优化信赖域所对应的区间。

Python调用实现最小二乘法的方法详解

以上就是信赖域方法的基本原理。

雅可比矩阵

在了解了信赖域方法之后，就会明白雅可比矩阵在数值求解时的重要作用，而如何计算雅可比矩阵，则是接下来需要考虑的问题。jac参数为计算雅可比矩阵的方法，主要提供了三种方案，分别是基于两点的2-point；基于三点的3-point；以及基于复数步长的cs。一般来说，三点的精度高于两点，但速度也慢一倍。

此外，可以输入自定义函数来计算雅可比矩阵。

测试

最后，测试一下非线性最小二乘法

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

def test(xs):
    _sum = 0.0
    for i in range(len(xs)):
        _sum = _sum + (1-np.cos((xs[i]*i)/5)*(i+1))
    return _sum

x0 = np.random.rand(5)
ret = least_squares(test, x0)
msg = f"最小值" + ", ".join([f"{x:.4f}" for x in ret.x])
msg += f"\nf(x)={ret.fun[0]:.4f}"
print(msg)
'''
最小值0.9557, 0.5371, 1.5714, 1.6931, 5.2294
f(x)=0.0000
'''

到此这篇关于Python调用实现最小二乘法的方法详解的文章就介绍到这了,更多相关Python最小二乘法内容请搜索我们以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持我们！